Rette parallele tagliate da una trasversale

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano particolari coppie di angoli congruenti tra loro. Tracciando una trasversale su due rette parallele, in particolare, si generano angoli alterni interni, alterni esterni, coniugati interni, coniugati esterni e corrispondenti.

La lezione sugli angoli di oggi riguarda una parte teorica importantissima del programma di geometria del biennio. Conoscendo le proprietà degli angoli formati da due rette tagliate da una trasversale si risolvono tantissimi problemi ed è possibile completare numerose dimostrazioni.

Teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale

Iniziamo proprio dal disegno. Tracciamo due rette, che indichiamo con a e b, a cui va a intersecarsi una retta trasversale t.

Dall’intersezione delle rette si generano 8 angoli con delle proprietà molto particolari. Per favorirne la lettura e aiutarti a capire meglio la lezione, indichiamoli ciascuno con un numero diverso.

Come puoi notare dalla figura oltre ai numeri riferiti agli angoli, abbiamo messo anche dei colori. In questo modo riusciremo a capire meglio le relazioni tra gli angoli formati tra le rette parallele e la trasversale.

Iniziamo subito a fare qualche osservazione.

• Le coppie di angoli 1-3, 5-7, 4-2 e 8-6 sono congruenti perché angoli opposti al vertice.
• Le coppie di angoli 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 sono angoli supplementari, perché la loro somma è pari a 180°.

Fin qui niente di nuovo. Tuttavia è possibile trovare delle ulteriori proprietà che analizziamo di seguito una ad una.

• Angoli alterni interni congruenti: sono le coppie di angoli 4-6 e 3-5. Si chiamano alterni interni perché uno è a destra e uno a sinistra (alterni) e si trovano all’interno delle due rette tagliate dalla trasversale (interni).
• Angoli alterni esterni congruenti: sono le coppie di angoli 2-8, 1-7. La spiegazione è identica alla precedente solo che questa volta gli angoli si trovano all’esterno delle due rette parallele.
• Angoli corrispondenti congruenti: sono le coppie di angoli 1-5, 2-6, 4-8, 3-7. Si chiamano così perché la posizione sulle due rette è perfettamente identica.
• Angoli coniugati interni supplementari: sono le coppie 3-6 e 4-5. Puoi ricordarli perché sono uno di fronte l’altro.
• Angoli coniugati esterni supplementari: sono le coppie 1-8, 2-7. Si trovano entrambi all’esterno e sullo stesso lato.

Esercizi svolti sulle rette parallele tagliate da una trasversale

Esercizio 1

Completare le seguenti frasi relative agli angoli formati da due rette tagliate da una trasversale.

• gli angoli alterni interni sono … ?
• gli angoli corrispondenti sono … ?
• gli angoli alterni esterni sono … ?
• gli angoli coniugati interni sono … ?
• gli angoli coniugati esterni sono … ?

Esercizio 2

Date due rette parallele tagliate da una trasversale, uno degli angoli formati misura 48°. Qual è l’ampiezza degli altri sette?

Svolgimento

Per semplificare la risoluzione dell’esercizio, facciamo subito il disegno, immaginando che sia il numero 5 l’angolo noto.

Possiamo quindi dire che:

• 5=7 poiché opposti al vertice;
• 5=3 poiché alterni interni;
• 5=1 e 7=3 poiché corrispondenti;

Inoltre l’angolo 6 è il supplementare dell’angolo 5, per cui

6=180°-48°=132°

Sfruttando le regole imparate in questa lezione possiamo dire che:

• 6=8 poiché opposti al vertice;
• 6=4 poiché alterni interni;
• 6=2 e 8=4 poiché corrispondenti;

Quindi gli angoli che si formano dalle due rette tagliate dalla trasversale sono:

• 1=3=5=7=48°;
• 2=4=6=8=132°.

Esercizio 3

La differenza di due angoli coniugati interni formati da due rette parallele tagliate da una trasversale è di 22°. Determinate l’ampiezza dei due angoli.

Svolgimento

Sappiamo che gli angoli coniugati sono supplementari, per cui indicando con α e β la misura dei due angoli da determinare, sappiamo che:

α – β = 22°
α + β = 180°

Gli studenti delle scuole superiori possono impostare un sistema di primo grado a due incognite e poi risolvere con il metodo preferito (es: con il metodo della somma o della differenza)

Gli studenti delle scuole medie invece devono ragionare diversamente non avendo ancora studiato le equazioni di primo grado. Quando abbiamo la somma e la differenza di due elementi, è sufficiente calcolare somma meno differenza e fare diviso due. In questo modo si calcola l’elemento più piccolo.

Nel nostro caso:

β = (180°-22°) :2 = 79°

Poiché α è il supplementare di β, possiamo concludere l’esercizio scrivendo che:

β = 180°-79° = 101°

Esercizio 4

Uno degli angoli formati da 2 rette parallele tagliate da una trasversale misura 35° 44′ 18”.  Qual è l’ampiezza del suo coniugato?

Svolgimento

Sappiamo che gli angoli coniugati sono supplementari, per cui dobbiamo calcolare il supplementare dell’angolo datoci dalla traccia.

L’operazione da svolgere è:

Conclusioni

Se l’esercizio ti è stato utile o se hai ancora dubbi o perplessità, lascia un commento in basso. Il nostro staff è a tua disposizione per aiutarti. Ci aiuterai così anche a migliorare la qualità delle lezioni.