Un nostro studente ci ha chiesto un approfondimento sui logaritmi. In particolare ci chiede “Quanto fa il logaritmo di 1? Per quale ragione il risultato viene sempre 0? Come si dimostra?”
RISPOSTA
Il logaritmo di 1 vale 0 sempre e qualsiasi sia la base del logaritmo stesso. Possiamo quindi scrivere che:
Per ogni a che sia, per definizione di logaritmo, maggiore di 0 e diversa da 1.
Perché il logaritmo di 1 vale 0?
Come si dimostra? Passiamo da logaritmo a esponenziale:
Abbiamo così ottenuto un’equazione esponenziale che si risolve portando primo e secondo membro sotto forma di esponenziale con la stessa base. Poiché qualsiasi numero elevato a 0 è equivalente a 1, allora il valore può essere riscritto come:
Come puoi vedere il risultato è x=0 e non dipende da 0. Questo vuol dire che qualsiasi sia la base, il logaritmo di 1 fa 0, sempre!
Dimostrazione grafica
Per capire quanto vale il log di 1, puoi far riferimento anche alla funzione logaritmo e al suo grafico.
A sinistra abbiamo il grafico della funzione logaritmo con base maggiore di zero, mentre a destra con base compresa tra 0 e 1. In entrambi i casi la funzione negli assi cartesiani passa per il punto P(1;0).
Questo vuol dire che quando la x=1, la funzione f(x)=logx vale 0. Quindi abbiamo dimostrato che log1=0.
Il logaritmo naturale di 1
Merita un discorso a parte ln1? Assolutamente no, visto che il risultato è indipendente dal valore della base. Per questa ragione possiamo tranquillamente dire anche che il logaritmo naturale di 1 vale 0.
Il logaritmo in base 10 di 1
In maniera del tutto analoga, anche il logaritmo decimale di 1 mi da sempre come risultato 0. Per cui vale anche l’uguaglianza:
Ora facciamo a noi a te una domanda. Sai invece quanto vale il logaritmo di 0? Clicca sul link per scoprirlo 😉 Buona lettura.