Quali sono i fuochi dell’ellisse e come si calcolano? In questa lezione di approfondimento, vedremo più nel dettaglio cosa sono questi due punti così importanti nella risoluzione di esercizi e problemi sull’ellisse.
Prima di procedere con la lettura, assicurati di aver chiaro cosa sia l’ellisse, di sapere cosa siano l’asse maggiore e l’asse minore. Trovi tutto nella lezione sull’ellisse generale, mentre trovi un formulario completo nella sezione dedicata alle formule dell’ellisse.
Fuochi ellisse: definizione
I fuochi di un’ellisse sono due punti fissi, giacenti sull’asse maggiore, tali per cui la somma delle distanze di un qualsiasi punto dell’ellisse da essi, è costante.
Come puoi vedere la definizione si ricava direttamente proprio dalla definizione della figura geometrica. Nella figura in basso puoi notare come di ogni generico punto sia costante la somma delle distanze dai fuochi: AF1+AF2=BF1+BF2. Il punto D, ad esempio, non appartiene alla figura proprio perché tale somma è diversa.
Da notare che i fuochi sono simmetrici rispetto al centro C ed appartengono all’asse maggiore.
Come si calcolano i fuochi dell’ellisse?
CASO 1 – asse maggiore sull’asse x
L’origine degli assi coincide con il centro della figura, per cui i due fuochi appartengono all’asse delle ascisse. Considerando a>b, allora vale la relazione:
Dove c è un parametro chiamato semi-distanza focale e può essere calcolata come:
CASO 2 – asse maggiore sull’asse y
Mentre nel caso precedente le ordinate erano nulle, in questo caso ogni fuoco dell’ellisse avrà l’ascissa pari a 0.
Fuochi dell’ellisse traslato
Merita un approfondimento il caso dell’ellisse che non ha il centro all’origine degli assi cartesiani. In questo caso è stata effettuata la trasformazione geometrica di traslazione. Nel caso in cui l’asse maggiore è parallelo all’asse delle ascisse, valgono le formule:
Nel caso in vece in cui l’asse maggiore sia parallelo all’asse delle y, le coordinate dei fuochi dell’ellisse diventano:
Esercizi svolti
Esercizio 1
Calcolare le coordinate dei fuochi dell’ellisse definita dalla seguente equazione:
L’equazione presentata dalla traccia è già in forma canonica e al numeratore non ci sono ragioni per pensare che si tratti di un’ellissi traslata. Iniziamo quindi a calcolare la misura del semiasse maggiore a e del semiasse minore b. Si possono quindi ricavare:
Dai dati ricavati possiamo notare che il centro dell’ellisse coincide con l’origine del sistema di riferimento e che l’asse maggiore è l’asse orizzontale in quanto a>b. Possiamo quindi calcolare i fuochi dell’ellisse usando le formule del caso 1:
Per cui le coordinate ricercate sono:
Esercizio 2
Calcolare le coordinate dei fuochi dell’ellisse di equazione:
Dal numeratore, essendoci quell’x-1, possiamo già far riferimento all’ellisse traslata e calcolare, come nel caso precedente, le misure dei due semiassi. Inoltre le coordinate del centro si possono ricavare osservando i numeratori di entrambe le frazioni. Poichè ho x-1 e y, allora xc=1 e yc=0.
Quindi il centro dell’ellisse non coincide con il centro degli assi cartesiani e, poiché b>a, i fuochi dell’ellisse ruotata si trovano sull’asse delle ordinate.
Le coordinate dei fuochi sono quindi:
Esercizio 3
Calcolare le coordinate dei fuochi dell’ellisse di equazione:
In questo caso, per poter ricavare le informazioni necessarie bisogna trasformare l’equazione che rappresenta l’ellisse in forma generale. Quindi eseguo un raccoglimento a fattor comune e sviluppo la traccia:
A questo punto dividiamo tutto per 225, così da avere 1 al secondo membro:
Possiamo a questo punto procedere come nell’esercizio 1 e 2 che abbiamo già svolto. Quindi determino i valori di a, b e c.
Possiamo quindi calcolare i fuochi dell’ellisse sostituendo nella formula:
Questo esercizio, seppur più complesso dei precedenti, utilizza lo stesso metodo risolutivo. Una volta aver trovato tutte le informazioni necessarie per poter affermare di trovarsi in uno dei quattro casi analizzati, basta semplicemente applicare le relative formule! Niente di più semplice!
CONCLUSIONI
Abbiamo imparato la definizione di fuochi di un ellisse ed evidenziato le loro caratteristiche. Abbiamo poi visto come, tramite l’utilizzo di formule, sia possibile calcolare esplicitamente le coordinate cartesiane di questi due punti. Per poter scegliere le giuste formule da utilizzare devi osservare:
- La posizione dell’ellisse rispetto all’origine del sistema di riferimento;
- L’orientazione dell’asse maggiore dell’ellisse;
Se ti è piaciuto l’articolo lascia un commento! Non esitare a contattarci in caso di dubbi! Buono studio!