Abbiamo già parlato nella precedenti lezioni di come stabilire se una funzione è iniettiva. Oggi ci concentreremo su un’altra importante definizione di funzione. In particolare vedremo che cos’è una funzione suriettiva, partendo dalla definizione completa di grafico fino a vedere assieme degli esercizi.
Si tratta di un argomento spesso sottovalutato al liceo ma che è importante non solo per il programma di analisi ma anche per l’algebra lineare. Generalmente a scuola si da poco più che una definizione e una spiegazione sulle funzioni suriettive, spesso neanche molto chiara. In questa lezione cercheremo di darti un’idea più chiara e completa dell’argomento, rendendoti tutto il più semplice possibile.
Definizione di funzione suriettiva
Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione suriettiva se vale la condizione f(A)=B
Cerchiamo ora di capire bene il significato della definizione di funzione suriettiva, detta anche surgettiva in alcuni testi più vecchi. In maniera più matematica possiamo dire che la funzione è suriettiva quando tutti gli elementi di B posseggono almeno una controimmagine. Proviamo a rendere tutto ancora più semplice analizzando il seguente grafico.
Nel grafico sono presenti due figure. Nella prima puoi vedere rappresentata una funzione suriettiva, mentre nella figura due è rappresentata una funzione non suriettiva. Cosa cambia? Come stabilire se una funzione è suriettiva? Come puoi vedere in figura 2 è presente un elemento che non ha una controimmagine, cioè non è collegato a nessun elemento di A.
Una funzione è suriettiva quando tutti gli elementi del codominio, cioè dell’insieme B di destra hanno un corrispondente elemento nel dominio della funzione, cioè l’insieme di sinistra. Per cercare di renderti tutto ancora più facile e chiaro, ecco alcuni esempi.
Esempio 1
La funzione reale di variabile reale y=f(x), il cui grafico è rappresentato in figura, è suriettiva. Infatti ogni retta orizzontale (corrispondente ad un valore reale e qualsiasi) interseca la curva almeno in un punto. Tradotto dal linguaggio matematico, questo vuol dire che per ogni valore di y esiste sempre un valore di x.
Funzione suriettiva esempi
Esempio 2
y=x^2 è l’equazione della parabola con vertice nell’origine. Ebbene la parabola non è una funzione suriettiva. Infatti il suo codominio è l’insieme R0+, cioè l’insieme dei numeri reali positivi e compreso lo 0. La curva infatti esiste solo nel primo e terzo quadrante del piano cartesiano. Se proviamo cioè a tracciare la retta y=-2, ad esempio, non intersecherà in alcun punto la funzione. Questo vuol dire che esistono dei valori di y che non hanno una corrispondenza nell’insieme delle x possibili.
Come stabilire se una funzione è suriettiva con il metodo analitico
Quello che abbiamo visto sino ad ora è sostanzialmente il metodo grafico. Cioè si disegna la funzione e si verifica che per ogni y scelta ci sia almeno una x corrispondente. Una soluzione alternativa a questo tipo di esercizi può essere data dal metodo analitico per le funzioni suriettive. In cosa consiste? Nell’applicazione rigorosa della definizione di funzione suriettiva vista in precedenza.
Questo significa trovare per ogni y, almeno una x, tale che y=f(x). Come si fa? Basta risolvere l’equazione calcolando la x invece della y. Vediamo con un esercizio svolto di essere subito più chiari.
Esempio 3
L’equazione della retta y=2x+1 è una funzione suriettiva? Dimostriamolo con il metodo analitico.
Mentre con il metodo grafico è sufficiente disegnare una retta nel piano cartesiano e si verifica immediatamente che per ogni retta orizzontale si interseca sempre la retta data, con il metodo analitico bisogna risolvere un’equazione di primo grado, andando cioè a spostare la x a sinistra.
y=2x+1 –> x=y/2 + 1/2
La funzione è suriettiva perché per qualsiasi valore di y si trova senza dubbio un corrispondente valore di x.
Esempio 4
yx=2 è l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli assi. Proviamo a verificare che si tratti di una funzione suriettiva con il metodo analitico.
yx=2 –> x=2/y
Non è una funzione suriettiva perché immaginando di voler calcolare le condizioni di esistenza riferite alla y, troverei immediatamente che per y=0 non esiste alcun valore di x. E’ dato che la definizione sottolinea che devono essere tutti i valori del codominio ad avere controimmagine nel dominio, allora la funzione non è suriettiva.
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