Capire le frazioni algebriche è fondamentale per imparare a risolvere gli esercizi sulle espressioni algebriche. Ecco una semplice spiegazione con qualche esercizio svolto.
Definizione
Addizione e sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Potenze
Cosa sono le frazioni algebriche?
Definizione: Le frazioni algebriche sono delle particolari frazioni che hanno per numeratore e denominatore due espressioni algebriche. Cioè in poche parole si tratta di un rapporto in cui sia al numerato che al denominatore ci sono dei monomi e polinomi.
Dalla definizione riusciamo a ricavare subito un concetto molto importante per capire l’argomento di oggi. All’interno delle frazioni algebriche i polinomi possono comparire anche al denominatore.
Poiché inoltre non esiste ed è impossibile una frazione con lo zero al denominatore, è importante sottolineare come il denominatore sia necessariamente diverso da zero. Queste sono quelle che probabilmente hai sentito chiamare condizioni di esistenza.
Per il resto la spiegazione non è affatto difficile, dato che sono perfettamente uguali alle frazioni algebriche. Per questa ragione potremo semplificare il numeratore con il denominatore dividendoli per uno stesso monomio.
Mentre nel primo esempio le frazioni algebriche sono state semplificate semplicemente riducendo per i termini comuni – in realtà avremmo dovuto calcolare il massimo comune divisore, ma è possibile semplificare a occhio – nel secondo esercizio abbiamo dovuto applicare le regole delle scomposizioni di polinomi. In particolare al numeratore è stata fatta una messa in evidenza totale mentre al denominatore una differenza di quadrati. In questo modo abbiamo ottenuto la parentesi (x+y) moltiplicata sia sopra che sotto, per cui semplificabile.
Operazioni con le frazioni algebriche
Addizione e sottrazione
Come per le frazioni aritimetiche, anche le addizioni di frazioni algebriche devono essere ridotte, cioè semplificate e poi in seguito è necessario calcolare il minimo comune multiplo, così che i denominatori siano gli stessi. Eseguite le somme tra le frazioni algebriche, se possibile, si semplifica il risultato ottenuto. Vediamo un esempio.
In questo primo passaggio abbiamo da subito provato a ridurre ai minimi termini, cioè a scomporre, i due denominatori.
Trucco per risolvere le frazioni algebriche: se trovi un polinomio di grado superiore a 1, cerca sempre di scomporre. Cioè se vedi un quadrato, un cubo o qualsiasi altra potenza prova a scomporre sempre. A questo punto calcolo il mcm di polinomi:
Moltiplicazione tra frazioni algebriche
Per le moltiplicazioni si scrive una frazione avete per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Naturalmente, se possibile, conviene poi semplificare. Vediamo subito un esempio facile:
Ovviamente, come nel caso delle frazioni aritmetiche, è possibile semplificare i termini incrociati della moltiplicazione.
Divisione tra frazioni algebriche
Le divisioni tra frazioni algebriche si risolvono trasformando il diviso in per e invertendo il secondo termine (il numeratore diventa denominatore e viceversa). Non è difficile e si risolve esattamente come una normale divisione tra frazioni. Per dubbi leggi la lezione sulle operazioni con i numeri relativi.
Vediamo un esempio più difficile:
Per risolvere la frazione algebrica è stata applicata la regola della differenza di cubi. Dopo la scomposizione è stato sufficiente applicare le normali regole sulle moltiplicazioni e semplificare.
Potenze di Frazioni Algebriche
E’ la parte più semplice della lezione. Per elevare a potenza una frazione algebrica basta elevare a quell’esponente il numeratore e il denominatore della frazione. Ricordati che anche in questo caso valgono le proprietà delle potenze.
Ecco un esercizio svolto:
Ti consigliamo di prestare molta attenzione a questo esercizio svolto, perché contiene un passaggio che molto spesso gli studenti sbagliano. Un errore molto comune è di semplificare la a del numeratore con quella del denominatore: è sbagliato! Al numeratore la è un addendo, cioè fa parte di una somma. Al denominatore è un prodotto (è come se fosse moltiplicata per 1), per cui non si possono assolutamente semplificare.
A questo link trovi frazioni algebriche già svolte con cui puoi esercitarti e confrontare i risultati. (VAI AGLI ESERCIZI SVOLTI)
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