In questa piccola lezione faremo un approfondimento specifico sulla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Vedremo qual è e come si dimostra. Al termine della spiegazione teorica vedremo qualche rapido esempio su come si utilizza la formula concretamente.
Abbiamo già detto, nel capitolo generale sulle equazioni di secondo grado, che la forma canonica è:
ax2+bx+c=0
dove a, b e c sono dei coefficienti reali, cioè dei numeri, delle radici, delle frazioni o addirittura delle parentesi contenenti dei coefficienti. Quando questi sono diversi da zero, non valgono le tecniche risolutive viste per le equazioni spurie e pure.
Formula risolutiva equazioni secondo grado
Formula risolutiva completa per le equazioni di II grado
La quantità sotto radice si chiama discriminante e si indica con la lettera delta (Δ). Per questa ragione si può riscrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado anche nel seguente modo:
Formula risolutiva con il Δ
Svolgendo degli esercizi ti accorgerai che a volte usciranno dai calcoli numeri un po’ alti e quindi impegnativi, soprattutto se i calcoli sono fatti a mano senza calcolatrice. Proprio per questa ragione, quando il coefficiente b è pari, si utilizzata quella che viene chiamata la formula ridotta. Non ce ne occupiamo all’interno di questa lezione, ma ti rimandiamo agli appunti relativi all’uso di delta quarti e formula ridotta.
Un consiglio per impararla prima
La formula per risolvere le equazioni di secondo grado sarà fondamentale anche nel proseguo degli studi, per cui è importante impararla a memoria. Per questa ragione ti consigliamo di riscriverla ogni volta che dovrai utilizzarla, in questo modo la ricorderai molto più facilmente.
Dimostrazione con spiegazione passo passo
Durante le interrogazioni può capitare che il docente chieda come si ricava la formula risolutiva delle equazioni secondo grado, per cui è importante aver presente anche la dimostrazione.
Si parte dalla formula canonica: ax2+bx+c=0
Il primo passo è cercare di trasformarla in un quadrato di binomio. Per far ciò noto che il primo termine (ax2) è parzialmente un quadrato. Per renderlo tale dobbiamo moltiplicare tutto per a.
a2x2+abx+ac=0
Mentre il primo termine è già un quadrato di ax, manca a questo punto il doppio prodotto. Questo potrebbe essere abx. Manca però il coefficiente numerico che esprima un prodotto moltiplicato per 2. Se moltiplicassi tutti i termini per due, non avrei più un quadrato al primo termine. Moltiplico quindi tutto per quattro.
4a2x2+4abx+4ac=0
In questo modo il primo termine è il quadrato di 2ax, il secondo termine è il doppio prodotto di 2ax per b. Manca a questo punto il secondo termine al quadrato. Per le regole fondamentali delle equazioni (aggiungendo e sottraendo uno stesso numero a destra o sinistra il risultato non cambia), posso scrivere quindi:
4a2x2+4abx+4ac+b2-b2=0
4a2x2+4abx+b2+4ac-b2=0
(2ax+b)2+4ac-b2=0
Mi serve calcolare la x, per cui devo eliminare il quadrato attraverso una radice quadrata. Isolo la parentesi con il quadrato a sinistra e successivamente calcolo la radice a destra e sinistra:
(2ax+b)2=b2=-4ac
2ax+b=±√(b2=-4ac)
Essendo una radice, al secondo membro mi compare il segno “+” e “-“. A questo punto posso calcolare la x.
2ax=-b±√(b2=-4ac)
x=[-b±√(b2=-4ac)]/2a
Ho così completato la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Vediamo alcuni casi concreti ora, in cui poter applicare questa tecnica all’interno degli esercizi.
Esempi
Risolvere la seguente equazione di secondo grado usando la formula risolutiva vista in alto:
x2+5x+6=0
Il secondo esercizio che ti proponiamo è perfettamente analogo al primo,ma leggermente più complessa.
Si tratta di un’equazione di secondo grado fratta (un’approfondimento qui è d’obbligo). Riassumendo brevemente ciò che bisogna fare:
- minimo comune multiplo tra i denominatori;
- condizioni di esistenza;
- calcoli algebrici (somme, prodotti, ecc…);
- uso della formula risolutiva per l’equazione se di secondo grado;
A questo punto la parte difficile è finita. Abbiamo ottenuto un’espressione algebrica di un polinomio che ci porterà ad una normale equazione di secondo grado.
