In questa lezione vedremo la spiegazione sulle disequazioni con valore assoluto. Vedremo come risolvere con degli esempi pratici e degli esercizi svolti e commentati passo passo.
Che cos’è il valore assoluto
CASO1: |f(x)|>g(x)
CASO2: |f(x)|>g(x)
Disequazione con più valori assoluti
Che cos’è il valore assoluto in matematica?
E’ ovviamente la prima domanda che si pone lo studente. La definizione di valore assoluto fa riferimento ad una funzione che, se applicata a qualsiasi numero, me lo rende positivo. Il valore assoluto di un numero |-1|=1, si legge il valore assoluto di -1 è uguale a 1.
Disequazioni con valore assoluto: schemi e casi
E’ possibile in matematica dover risolvere sia delle disequazioni che delle equazioni con valore assoluto fratte o intere. Nella lezione di oggi cercheremo di dare una spiegazione sulle disequazioni vedendo diversi casi. In questo modo quando dovrai risolvere gli esercizi, non dovrai altro che riconoscere in quale caso ti trovi e seguire la regola che vedrai indicata.
Caso 1
Il primo caso è quello in cui la funzione valore assoluto è maggiore di un’altra funzione. Abbiamo quindi un valore assoluto a primo membro, il verso maggiore, e a secondo membro una funzione o anche semplicemente un numero.
|f(x)|>g(x)
Tralasciando la dimostrazione passiamo direttamente allo schema per risolvere gli esercizi:
Dovremo quindi risolvere due sistemi di disequazioni che alla fine andranno poi uniti su unico grafico.
Se inoltre g(x)=k, cioè se al secondo membro ho un numero, allora posso semplificare la regola e risolvere come:
f(x)<-k U f(x)>k
Per ricordarti questa regola puoi far riferimento alle disequazioni di secondo grado in cui si prendono valori esterni. Infatti dovrò scrivere la funzione in valore assoluto minore di -k unito alla funzione maggiore di k.
Esempio:
Caso 2
Il secondo caso lo abbiamo nel momento in cui c’è a primo membro una funzione con valore assoluto, verso minore e a secondo membro un’altra funzione o una costante.
|f(x)|<g(x)
La formula da seguire in questo caso è:
Anche in questo caso dovrò risolvere due sistemi di disequazioni e alla fine dovrò ricordarmi di unire i due risultati su un unico grafico. Se come prima g(x)=k, cioè se al secondo membro ho un numero, allora vale la formula:
-k<f(x)<+k
Per ricordarti questa formula fai sempre riferimento alle disequazioni di secondo grado. In questo caso verranno considerati i valori interni tra -k e +k.
Esempio:
Caso 3
L’ultimo caso riguarda le disequazioni con più espressioni con valore assoluto. Per risolvere questo caso vanno imposte le varie funzioni in valore assoluto maggiori di zero e studiate su un grafico. Vediamo subito un esempio per chiarire questo ultimo e più difficile caso che nella pratica capirai essere in realtà molto facile:
Il primo passo è portare tutti i valori assoluti al primo membro, mentre i termini noti restano al secondo membro. Studiamo il segno delle espressioni in valore assoluto e rappresentiamo graficamente:
Ogni linea del grafico corrisponde ad una funzione differente. Nella prima abbiamo disegnato 2x+3 mentre sulla seconda 1-x. Ti consigliamo di scriverle al lato così da rendere più facile l’esercizio.
A questo punto abbiamo il grafico diviso in tre zone: prima di -3/2, l’area centrale tra -3/2 e +1, l’ultima sulla destra dopo +1. Dovrò quindi scrivere tre sistemi diversi.
Per ogni sistema scriverò al primo rigo una disequazione che rappresenta dove mi trovo (prima di -3/2, tra -3/2 e +1, dopo +1) mentre al secondo rigo riscrivo le disequazioni con valore assoluto della traccia con questa regola:
– se sul grafico la funzione ha linea continua si riscrive così com’è;
– se sul grafico la funziona ha il tratteggio va scritta con il segno cambiato.
Le tre soluzioni dei sistemi di disequazioni sono: Intervallo1=(-Infinito; -6), Intervallo2=(0;1), Intervallo3=(+1;+Infinito). Questi tre intervalli devono essere tra loro uniti, cioè:
Per ulteriori chiarimenti su esercizi ed esempi su disequazioni con valore assoluto, sentiti libero di chiedere aiuto al nostro staff. Potrai chiedere una mano non solo con la teoria ma anche con gli esercizi e i compiti che non sai risolvere.