La definizione di retta è una delle primissime proprietà che si va a studiare nel programma di geometria euclidea. E’ importante capire che cos’è una retta, perché da essa partiremo con gli enti fondamentali geometrici. La definizione di semiretta, ad esempio parte proprio dall’idea di retta.
Evita di imparare queste nozioni a memoria, non c’è nulla di complesso. Meglio iniziare a capire la geometria piuttosto che cercare di ricordare tutto senza aver capito. Anche perché nel programma di geometria analitica che studierai tra qualche anno, vedrai l’equazione della retta, per cui avrai bisogno di aver compreso bene le definizioni elementari.
Definizione di retta
Rette semirette e segmenti non hanno una vera e propria definizione proprio perché sono chiamati enti fondamentali. Se vogliamo provare a darne una possiamo dire che:
La retta è un insieme di punti allineati che non ha un inizio e non ha una fine.
Anche nel gergo comune sei abituato a parlare di linea retta, come di una direzione. Cioè esiste una sola dimensione, la lunghezza ed è infinita. Non può essere quindi considerato un ente tridimensionale, dato che non ha altezza e profondità.
Come disegnare una retta
Non è molto difficile disegnare una retta. Ti basta disegnare una linea. Gli estremi in genere si fanno tratteggiati, proprio ad indicare che la retta è infinita, non ha un’origine o una fine.
Come si indica una retta
Come puoi vedere nel disegno, la retta viene in genere indicata con una lettera minuscola dell’alfabeto. Generalmente, quando si ha 1 sola retta la si chiama r. Quando ce ne sono 2 si chiamano r ed s. Quando ce ne sono 3, si chiamano r,s e t … eccetera. Non è tuttavia sbagliato indicarle con le lettere a, b, c,… l’importante è che siano lettera minuscola.
Proprietà della retta
La prima proprietà che pone in relazione reciproca retta e punti è espressa dal seguente postulato.
Primo Postulato:
Per due punti distinti passa una ed una sola retta.
E’ vero che un postulato non si dimostra(*), ma anche mentalmente prova ad immaginare. Dalla definizione di retta sappiamo che i punti devono essere tutti allineati. Per questa ragione per due punti può passare una sola retta.
In altre parole una retta è determinata da due punti distinti. Fissati due punti A e B, la retta r che li congiunge è unica; essa si denota come retta AB oppure, più correttamente come abbiamo fatto in figura, retta r.
Il postulato permette di affermare che se due rette hanno due punti in comune, allora esse sono due rette coincidenti.
Infine due rette si dicono incidenti quando hanno un punto in comune. L’intersezione di due rette incidenti r ed s come nella figura in basso, è data dal punto P per il quale entrambe passano.
Secondo Postulato:
Per un punto passano infinite rette.
Altri postulati importanti tendenti a descrivere il comportamento reciproco di punti e rette sono i seguenti:
- Ogni retta contiene almeno due punti.
- Dati due punti distinti A e B di una retta r, se A precede B, allora B segue A.
- Dati tre punti distinti A,B e C di una retta r, se A precede B e B precede C, allora anche A precede C. In questo caso B giace tra A e C, oppure si dice anche che B è compreso tra A e C.
- Tra due punti distinti di una retta r è sempre compreso almeno un terzo punto. Questo vuol dire che tra due punti generici di una retta, esistono in realtà infiniti punti. Proprio per questa ragione si dice per definizione di retta, che questo ente geometrico è un insieme denso di punti.
- Sopra una retta non esiste un punto che preceda, nè uno che segua tutti gli altri. Questo quinto postulato corrisponde all’idea che, come si dice, la retta è illimitata; è come dire che la retta non ha nè un primo nè un ultimo punto.
(*) Approfondimento: significato di postulato.