Come calcolare un angolo dal seno o dal coseno

In questa lezione vediamo come si calcola un angolo dal seno o dal coseno. Vi proponiamo un nostro metodo sempre molto gradito agli studenti. Ecco come fare…

Nelle precedenti lezioni abbiamo dato una definizione ed una spiegazione sulle prime funzioni goniometriche. In particolare abbiamo visto come calcolare seno e coseno di un angolo, ricordando a memoria i valori oppure servendoci di una tabella. Oggi vediamo invece come fare a risolvere il problema inverso, ovvero: sapendo il valore del seno, o del coseno come trovo il valore dell’angolo? 

• Metodo grafico
• Con la calcolatrice

Il metodo grafico

Cominciamo col ricordarci che cos’è la circonferenza goniometrica e per questa prima volta disegnamola. In seguito possiamo saltare questo passaggio e semplicemente immaginarla mentalmente.

A questo punto ti chiediamo di fare un unico sforzo di memoria e ricordare pochissimi numeri, che corrispondono poi ai valori di seno e coseno. Sono 5 in tutto ed ecco cosa ricordare:

• I numeri 0 e 1 li utilizzerai per tutti gli angoli multipli dell’angolo retto (90°, 180°, 270° e 360°).
• Radice di 2 fratto 2, lo utilizzerai solo l’angolo di 45° e suoi simili sugli altri quadranti (45° nel primo quadrante, 45+90=135° nel secondo quadrante, 135+90= 225° nel terzo quadrante e 225+90=315° nel quarto quadrante).
• 1/2 e la radice di 3 fratto due li utilizzerai per tutti gli angoli di 30° e 60° e simili sugli altri quadranti (30° e 60° nel primo quadrante, 30+90=120° e 60+90=150° nel secondo quadrante, 120+90=210° e 150+90=240° nel terzo quadrante, 210+90=300° e 240+90=330° nel quarto quadrante).
• Ricordati infine che 1/2 vale 0,5 mentre la radice di 3 fratto 2 vale 0,86. Quindi 1/2, tra i due numeri, è quello più piccolo.
• Il seno è il segmento verticale il coseno è il segmento orizzontale che troveremo sulla circonferenza goniometrica.

Questo è tutto quello che devi ricordare. Niente di più.

A questo punto puoi andare avanti con la spiegazione dettagliata oppure passare subito agli esercizi svolti passo passo e commentati. Qui troverai un PDF da scaricare che ti spiegherà come ricavare un angolo dal seno o dal coseno.

VAI SUBITO ALL’ESERCITAZIONE

Ora vediamo praticamente come si calcola un angolo dal seno o dal coseno.

Come calcolare un angolo sapendo il seno o il coseno? Ecco alcuni esempi

Una volta disegnata la circonferenza, immaginiamo di sapere ad esempio che il seno vale 1/2. Quanto vale l’angolo partendo dal seno? Il ragionamento da fare è il seguente:

• il valore 1/2 ci fa subito capire che stiamo parlando di un angolo che puoi essere o 30° o 60°. Ci resta capire solo quale dei due. In figura ti abbiamo riportato entrambi i casi.

Angolo di 30°

Angolo di 60°

• Se l’angolo è di 30° il segmento verticale (il seno) è quello più piccolo e quindi tra i due numeri (1/2 e rad3/2) vale proprio 1/2. Se invece l’angolo fosse di 60° allora il seno, cioè il segmento verticale sarebbe quello più grande, corrispondente al numero più grande, cioè rad3/2.

Quindi l’angolo vale 30°. Ma attenzione! Non c’è un solo valore dell’angolo partendo dal seno. L’esercizio non è finito: quando il seno è positivo vuol dire che ci troviamo nel I e II quadrante (il segmento verticale deve essere positivo quindi si troverà al di sopra dell’asse delle x).

Vuol dire che dobbiamo trovare il valore specchiato di 30° nel II quadrante. La caratteristica di questo angolo è che il suo segmento verticale (il seno) sia sempre il segmento più piccolo se confrontato col coseno. Qual è questo valore? Basta trovare il simmetrico di P rispetto all’asse y, che è proprio 150°, ovvero 180°-30°. Prova a disegnarlo se non ci credi e vedrai che il suo segmento del seno è più piccolo del coseno.

Quindi se l’esercizio ci chiede: calcolare il valore dell’angolo sapendo che senx=1/2, allora la risposta è x=π/6+2kπ e x=5/6 π + 2kπ. Questo è il risultato dell’esercizio.

Nel caso in cui troviamo un problema che ci chiede di calcolare l’angolo con il seno di rad2/2, allora si semplifica tutto. L’angolo è necessariamente di 45°, cioè espresso in radianti, pigreco/4. Ovviamente a questo bisogna aggiungere il suo simmetrico sull’altro quadrante che è 135°.

Calcolare il valore dell’angolo partendo dal coseno

Proviamo a fare un secondo esempio. Questa volta abbiamo noto il coseno che immaginiamo essere anche negativo, ad esempio pari a -rad3/2 così complicarci leggermente la vita. Ricorda:

• se il seno è negativo siamo nel III o IV quadrante
• se il coseno è negativo siamo nel II o nel III quadrante

Il metodo usato però è sempre lo stesso. Ignoriamo per un secondo il segno meno. Qual è il valore dell’angolo se il coseno è rad3/2? Il coseno deve essere il segmento più lungo rispetto al seno. Nella prima figura, con l’angolo a 30°, abbiamo visto che il coseno è il segmento più grande rispetto al seno. Quindi l’angolo è 30°. Ma essendo negativo dobbiamo trovare il suo corrispondente nel II e III quadrante.

Come puoi vedere in figura i due angoli da considerare sono 150° e 210° e rappresentano la soluzione del problema.

Calcolare l’angolo con la calcolatrice

Un secondo metodo apparentemente più semplice è quello di usare direttamente la calcolatrice. Non sempre lo consigliamo: innanzitutto serve una buona calcolatrice scientifica e seconda cosa deve essere impostata in maniera corretta altrimenti rischia di darci i risultati sbagliati.

• Per calcolare un angolo dal seno basta che premi il pulsante sen-1, cioè la funzione arcoseno.
• Per calcolare un angolo dal coseno basta che premi il pulsante cos-1, cioè la funzione arcocoseno.

Il problema della calcolatrice è che ti restituisce un solo valore. Spetta poi a te associare il suo simmetrico per completare la soluzione. Ricordati che se salti questo passaggio, che dovrai fare comunque tu manualmente, l’esercizio non può definirsi completo.

Esercizi da risolvere

Calcolare il valore degli angoli partendo da seno e coseno seguenti:

• senx=-1
• cosx=-1/2
• senx=rad2/2
• cosx=-rad2/2

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