Quanto fa e elevato a infinito? E’ un espressione che ricorre spesso negli esercizi con i limiti, ma tanti studenti vanno in difficoltà e si confondono.
In questa guida vediamo perché la funzione esponenziale all’infinito è pari proprio ad infinito. Inoltre vedremo anche cosa succede quando all’esponente c’è il segno meno, cioè risponderemo alla domanda quanto fa e alla meno infinito?
e elavato a infinito quanto fa?
Il risultato di questa operazione è proprio infinito, cioè possiamo scrivere che:
Ti starai chiedendo perché questo risultato. Per rispondere a questa domanda possiamo dare due diverse motivazioni, una numerica e una grafica.
e elevato a infinito – è una potenza!
Analizzando l’operazione da svolgere, puoi renderti conto che si tratta di una semplice potenza. La base è un numero finito, e che abbiamo già definito come Numero di Nepero. L’esponente è un infinito che possiamo approssimare però ad un numero molto alto.
Quanto vale è? 2,71
Prova sulla tua calcolatrice a scrivere 2,71 elevato a 100… vedrai un’espressione del tipo 1,98e+43, che corrisponde a 1,98·10^43. Si tratta di un numero incredibilmente alto, cioè infinito.
e elevato a infinito col metodo grafico
La prima spiegazione è la più semplice da ricordare ma forse quella meno rigorosa e matematica. Se vuoi fare bella figura con l’insegnante è meglio citare il grafico della funzione esponenziale.
Non te lo ricordi? Eccolo in figura…
Chiediamoci: cosa succede alla y quando la x va verso infinito? Cioè che succede alla curva man mano che procede verso la parte destra del grafico?
La curva si alza sempre di più, quindi vuol dire che la y diventa sempre più grande, cioè va verso infinito.
Quindi semplicemente ricordandoti il grafico
Poiché 1/e è un numero compreso tra 0 e 1 (se non ci credi prova sulla tua calcolatrice), allora il grafico della funzione esponenziale cambia.
In questo caso quando la x si sposta verso destra, cioè verso infinito, la curva si abbassa sempre più verso lo 0. In questo caso infatti y=0 è un asintoto orizzontale della funzione.
Quindi e elevato a infinito con il segno meno è proprio pari a 0.
Vedremo nelle prossime lezioni come sia molto più semplice il caso di e elevato a 0, semplicemente ricordando le proprietà delle potenze.
Conclusioni
Abbiamo visto in questa lezione il comportamento all’infinito dell’esponenziale con base e. Ti sarai reso conto che basta trattare il numero di Nepero come un numero qualsiasi per semplificarti i ragionamenti ed evitare dubbi o errori.
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