I criteri di divisibilità indicano la possibilità che un certo numero intero possa esser di essere diviso per un altro.
Si tratta di un concetto che viene in genere affrontato alle Scuole Primarie, ma che è opportuno riprendere anche quando si iniziano le Scuole Secondarie. Il criterio di divisibilità può essere applicato ad esempio nel calcolo del minimo comune multiplo e nella riduzione di fattori in numeri primi.
La definizione non lascia spazio a dubbi. Attraverso i criteri di divisibilità riusciamo a capire se un numero è divisibile per un altro. Praticamente come facciamo a capire se un numero è divisibile per 2, per 3, per 5, …? Usando propri i criteri di divisibilità. Nella matematica classica ne sono specificati tanti. In questa guida vediamo i più importanti è che è bene ricordare.
Numeri divisibili per 2
Un numero è divisibile per 2 quando è una cifra pari o se finisce in 0.
Esempi:
- 10 è divisibile per 2 perché finisce con lo zero, infatti 10:2=5;
- 24 è divisibile per 2 perché è pari, infatti 24:2=12:
- 11 non è divisibile per 2 perché è dispari. Infatti 11:2 non fa un numero intero.
Numeri divisibili per 3
Per capire quando un numero è divisibile per 3, basta sommare tutte le cifre e controllare che il risultato sia pari a 3 o multipli di 3.
Esempi:
- 27 è divisibile per 3, perché 2+7=9 che è un multiplo di 3.
- 28 non è divisibile per 3, perché 2+8=10 che non è un multiplo di 3.
- 153 è divisibile per 3,0 perché 1+5+3=9, multiplo di 3.
Numeri divisibili per 4
C’è divisibilità per 4 quando le ultime due cifre del numero sono 00 oppure sono multipli di 4.
Esempi:
- 100 è divisibile per 4 perché finisce per 00;
- 244 è divisibile per 4, perché 44 è multiplo di 4;
- 311 non è divisibile per 4, perché 11 non è multiplo di 4.
Numeri divisibili per 5
C’è divisibilità per 5 quando il numero finisce per 0 o per 5.
Esempi:
- 35 è divisibile per 5 perché finisce con 5;
- 70 è divisibile per 5 perché finisce con 0;
- 84 non è divisibile per 5 perché non finisce né con 0 né con 5;
Numeri divisibili per 6
La divisibilità per 6 c’è solo quando valgono sia i criteri di divisibilità per 2 e per 3 contemporaneamente.
Esempi:
- 72 è divisibile per 6 perché è pari e 7+2=9, multiplo di 3;
- 138 è divisibile per 6 perché è pari e 1+3+8=12, multiplo di 12;
- 123 non è divisibile per 6 perché nonostante 1+2+3=6 multiplo di 3, il numero è dispari.
Numeri divisibili per 7
Approfondimento: esempi svolti sul criterio di divisibilità per 7
Questo è il più difficile da applicare dei criteri di divisibilità. Dal numero intero si toglie la cifra corrispondente all’unità e si ottiene un valore x. A questo bisogna sottrarre il doppio della cifra espressa nelle unità e verificare che il risultato si un multiplo di 7.
Esempi:
315 è divisibile per 7, perché 31-5×2=31-10=21 che è un multiplo di 7.
9.5676 è un numero divisibile per 7 perché 9.567-12=9.555. Poiché non sappiamo ancora dire se c’è divisibilità per 7, applichiamo di nuovo il criterio. 9.555 → 955-5×2=955-10=945. Ripetiamo ancora il passaggio: 945 → 94-5×2=94-10=84 che è un multiplo di 7.
Numeri divisibili per 8
Ricordi i criteri di divisibilità per 4? Qui la situazione è analoga. Si considerano gli ultimi 3 numeri: c’è divisibilità se le ultime 3 cifre sono tutti zeri oppure se formano un multiplo di 8.
Esempi:
- 10.000 è divisibile per 8 perché finisce con 3 zeri.
- 1.944 è divisibile per 8 perché 944 è multiplo di 8.
L’alternativa è quella di verificare che il numero sia divisibile 3 volte per 2.
Numeri divisibili per 9
E’ analogo al criterio di divisibilità per 3. Un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è 9 o multipli di 9.
Esempi:
- 108 è divisibile per 9 perché 1+0+8=9.
- 855 è divisibile per 9 perché 8+5+5=18, multiplo di 9.
- 101 non è divisibile per 9 perché 1+0+1=2 non multiplo di 9.
Numeri divisibili per 10
La divisibilità per 10 esiste quando l’ultima cifra del numero finisce con 0.
Esempi:
- 110 è divisibile per 10 perché finisce con 0;
- 112 non è divisibile per 10 perché non finisce con 0;
Numeri divisibili per 11
Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra le cifre pari e le cifre dispari è 0, 11 o multipli di 11.
Esempi:
- 352 è divisibile per 11 perché (3+2)-5=0.
- 6.567 è divisibile per 11 perché (6+6)-(5+7)=0.
Numeri divisibili per 12
Un numero può essere diviso per 12 quando valgono contemporaneamente i criteri di divisibilità per 3 e 4.
Esempi:
- 540 è divisibile per 12 perché finisce per 0 e 5+4+0=9, multiplo di 3.
- 44.16 è divisibile per 12 perché finisce le ultime due cifre (16) sono un multiplo di 4 e 4+4+1+6=15 multiplo di 3.
- 100 non è divisibile per 12 perché nonostante le ultime due cifre siano 00, 1+0+0=1 non è multiplo di 3.
Numeri divisibili per 13
Un numero è divisibile per 13 quando il numero composto da tutte le cifre tranne le unità più il quadruplo della cifra all’unità è 13 o multipli di 13.
Esempi:
- 182 è divisibile per 13 perché 18+4×2=18+8=26 multiplo di 13.
- 1.924 è divisibile per 13 perché 192+4×4=192+16=208. Dato che non sappiamo se sia divisibile per 13, continuiamo con il criterio di divisibilità. 208 → 20+8×2=20+16=36 multiplo di 13.
Numeri divisibili per 15
Un numero può essere diviso per 15 quando valgono i criteri di divisibilità per 5 e per 3. Quindi deve finire per 0 o 5 e la somma delle sue cifre deve essere multiplo di 3.
Esempi:
- 645 è divisibile per 15 perché finisce per 5 e 6+4+5=15 multiplo di 3.
- 18.510 è divisibile per 15 perché finisce per 0 e 1+8+5+1+0=15 multiplo di 3.
Numeri divisibili per 17
Un numero si può dividere per 17 quando si prende il numero composto da tutte le cifre meno l’unità e lo si sottrae al quintuplo dell’unità. Il risultato deve essere 17 o multipli di 17.
Esempi:
- 731 è divisibile per 17 perché 73-5×1=68 multiplo di 17
- 7.021 è divisibile per 17 perché 702-5×1=697, proseguiamo applicando ancora il criterio di divisibilità: 697 → 69-5×7=69-35=34 multiplo di 17.
Numeri divisibili per 25
Un numero di può dividere per 25 quando finisce per 00 o se sono multipli di 25.
Esempi:
- 125 è divisibile per 25 perché finisce con 25;
- 10.450 è divisibile per 25 perché finisce con 50, multiplo di 25;
Numeri divisibili per 100
Un numero è divisibile per 100 quando finisce per 00.
Esempi:
- 12.100 è divisibile per 100 perché finisce per 00.
- 1.010 non è divisibile per 100 perché non finisce per 00.