Mcm e mcd sono praticamente i fondamenti dell’algebra. Imparare a calcolare il minimo comune multiplo o conoscere la definizione di massimo comune divisore è fondamentale per risolvere problemi ed esercizi più complessi in cui compaiono le frazioni o la messa in evidenza.
In questa pagina vedremo brevemente che cosa sono mcm e mcd. Ci concentreremo su esercizi e problemi che risolveremo assieme, aiutandoci con immagini e spiegazioni facili.
Definizione di mcm e mcd
Abbiamo definito nelle scorse lezioni mcd e mcm. In particolare abbiamo detto che:
- mcm: si prendono gli elementi comuni e non comuni presi una sola volta col massimo esponente.
- mcd: si prendono solo gli elementi comuni presi una sola volta col minimo esponente.
Immagino che questo enunciato tu lo abbia già trovato on line o su tutti i libri di testo. E’ inutile quindi fermarci a dare una spiegazione di mcm e mcd. Vediamo subito con degli esercizi come si effettua il calcolo.
Mcd e mcm esercizi
Esercizio 1
Calcolare mcm e mcd tra 60 e 27.
Il primo passo è quello di dividere ogni singolo numero in fattori primi e di trovare eventuali potenze. Vediamo subito come fare con 27 e 60.
60=6 x 10=2 x 3 x 5 x 2=22 x 3 x 5
27=9 x 3=3 x 3 x 3=33
A questo punto prendiamo i diversi fattori trovati (2, 3 e 5) e possiamo calcolare mcm e mcd.
mcm= 22 x 33 x 5 =4 x 27 x 5 = 540
mcd= 3 = 3
Esercizio 2
Calcolare mcm e mcd tra 240 e 270.
Ancora una volta effettuiamo una scomposizione dei numeri di cui vogliamo calcolare mcd e mcm.
240 = 24 x 10 = 3 x 8 x 5 x 2 = 3 x 23 x 5 x 2 = 3 x 24 x 5
270= 27 x 10 = 9 x 3 x 5 x 2 = 33 x 5 x 2
Da notare come nella scomposizione di 240 e 270 abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze. Infatti 2 x 23 = 24, poiché gli esponenti si sommano visto che la base della potenza è la stessa. Aiutati con una calcolatrice oppure scriviti da parte i calcoli delle moltiplicazioni, se necessario.
mcm = 33 x 24 x 5 = 2.160
mcd = 3 x 2 x 5 = 30
Esercizio 3
Calcolare mcm e mcd tra 15, 45 e 75.
Partiamo come al solito dalla scomposizione dei vari numeri e poi terminiamo con il calcolo di mcd e mcm.
15 = 5 x 3
45 = 9 x 5 = 32 x 5
75 = 15 x 5 = 3 x 5 x 5 = 3 x 52
Per calcolare mcd e mcm, come sempre andiamo a considerare tutti i fattori che abbiamo individuato, cioè 5 e 3.
mcm = 52 x 32 = 25 x 9 = 225
mcd = 5 x 3 = 15
Esercizi con mcm e mcd da risolvere per casa.
Calcolare mcm e mcd tra i seguenti gruppi di numeri. Quella che ti mostriamo è una tabella. Sulla sinistra trovi i gruppi di numeri da traccia, sulla destra il risultato dell’esercizio. Buon calcolo!
| Numeri da cui calcolare mcd e mcm | Risultati |
| 12, 18, 24 | mcd:6; mcm:72 |
| 24, 128 | mcd:8; mcm:384 |
| 15, 14 | mcd:1; mcm:210 |
| 18, 21, 27 | mcd:3; mcm:378 |
| 144, 54, 8 | mcd:2; mcm:432 |
| 3136, 2352, 1568 | mcd:784; mcm:9408 |
Suggerimenti: Ricordati che se nel calcolo del massimo comune divisore non trovi fattori comuni, allora il risultato sarà 1.
Problemi con mcd e mcm
Si trovano on line e su tutti i libri di testo, diversi problemi con mcd e mcm (a questo link le tracce dei problemi che stiamo per proporti).
Problema 1.
Traccia: Giovanni il fioraio dispone di 24 margherite, 60 ciclamini e 84 tulipani. Quanti mazzetti uguali tra loro potrà fare e quale sarà la loro composizione?
Svolgimento e soluzione: il problema ci chiede di calcolare il mcd tra 24, 60 e 84. Quindi:
24 = 3 x 23
60 = 10 x 6 = 5 x 2 x 3 x 2 = 5 x 3 x 22
84 = 4 x 21 = 22 x 7 x 3
mcd = 3 x 22 = 12 mazzi di fiori
Problema 2.
Traccia: Un cartolaio, dispone di 28 quaderni, 70 agende e 84 diari. Quante confezioni uguali potrà fare e quale sarà la loro composizione?
Svolgimento e soluzione: ancora una volta viene richiesto il calcolo del mcd. Quindi:
28 = 7 x 22
70 = 2 x 5 x 7
84 = 4 x 21 = 22 x 7 x 3
mcd = 7 x 2 = 14 confezioni.
Per capire come possono essere assortite basta fare ogni singolo numero dato dalla traccia diviso il mcd.
Quaderni = 28 : 14 = 2
Agende = 70 : 14 = 5
Diari = 84 : 14 = 12
Problema 3.
Traccia: Due amici sono nati nello stesso paese, ma si vedono raramente perché sempre in viaggio. Considerando che tornano a casa il primo ogni 35 giorni, il secondo ogni 25 giorni, quando si incontreranno di nuovo nel paese dove sono nati?
Svolgimento e soluzione: in questo caso viene richiesto il calcolo del mcm tra 25 e 35. Per questa ragione possiamo scrivere:
25 = 52
35 = 5 x 7
mcm = 7 x 52 = 175 giorni
Ma se in un problema mi viene chiesto di trovare il minimo numero di una tale cosa devo risolverlo con il MCD o con il mcm ?
La domanda è un po’ generica… Ma se serve l’elemento minimo in comune tra dei numeri è il MCD
il problema riportato non mi pare corretto si trovano non i minuti ma i secondi pertato il risultato è uguale a 1 minuto e 18 secondi non 1h e 18 minuti ??? giusto ???
Michele e Giampi, nonostante l’età, amano sfidarsi ancora in bici. Partono contemporaneamente su di un
velodromo e compiono un giro rispettivamente in 26 secondi e in 39 secondi. Dovendo misurarsi su un
tempo di 20 minuti, dopo quanti secondi, mantenendo velocità costanti, i due si ritroveranno allineati
sulla linea di arrivo?
Problema di mcm
26 = 2 ∙ 13 39 = 3 ∙ 13
m.c.m. (26, 39) = 2 ∙ 3 ∙ 13 = 78 minuti = 1 ora e 18 minuti
78 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑚𝑖𝑛 + 18 𝑚𝑖𝑛 = 1 𝑜𝑟𝑎 + 18 𝑚𝑖𝑛
Testo rivisto su segnalazione del mio fratellino Michele il 12.3.2006
Salve Laura, la tua affermazione è corretta. L’unità di misura usata è quella dei secondi. Quindi dal calcolo del minimo comune multiplo ti escono 78 secondi e non minuti. Quindi il risultato sarà, come giustamente hai scritto, 1 minuto e 18 secondi.