Intorno di un punto. Quando si definisce circolare, destro e sinistro

Prima di arrivare ai limiti ci sono alcuni concetti che bisogna affrontare. Dalla definizione di punto di accumulazione al concetto di intorno di un punto. In questa lezione ci concentreremo proprio su quest’ultimo argomento, andando a studiare che cos’è un intorno circolare, destro sinistro di un punto oppure di infinito.

Prima di capire che cos’è l’intorno di un punto facciamo un breve richiamo di geometria analitica. Ricordi quando abbiamo parlato di coordinate cartesiane nel piano? Dicemmo che esiste una corrispondenza biunivoca che lega i numeri reali ai punti di una generica retta orientata r. Su questa retta possiamo identificare un segmento di estremi A,B, come in figura.

Come puoi vedere sul grafico in maiuscolo sono segnati i nomi dei punti sull’asse x, mentre in basso sono segnate dello stesso colore le rispettive coordinate. Fatta questa premessa e partendo proprio dal disegno che ti hai appena visto, possiamo dire che cos’è un intorno di un punto.

Definizione

Si definisce intorno di un punto P, o anche intorno di x₀, e si indica con I(P), l’insieme formato dai punti di r appartenenti ad un segmento contenente P al suo interno.

Vuoi una definizione più facile? L’intorno del punto P non è altro che tutto ciò che c’è prima e dopo quello stesso punto, specificando ovviamente quanto prima e quanto dopo bisogna procedere.

Esempio

Un vigile che si trova a centro strada per regolare il traffico, ha un campo di azione di 10 metri alla sua destra e alla sua sinistra. Se il vigile è il punto P, allora l’insieme delle automobili che si trovano a 10 metri a sinistra e a destra del vigile rappresentano l’intorno del punto.

Proviamo ora a tradurre la definizione teorica in una espressione matematica.

Non è importante in questo momento se gli estremi siano inclusi o meno nell’intorno. Per ora è assolutamente indifferente. Ovviamente in base a quanto abbiamo detto fino ad ora, e ricordandoci come si calcola la distanza tra due punti A e B, possiamo dire che l’ampiezza dell’intorno è b-a.

Che cos’è un intorno circolare?

Si parla di intorno circolare quando P è il punto medio del segmento AB, quindi la distanza x₀-a è uguale a b-x₀.

Intorno destro di un punto

Molto analogamente a quanto già detto prima si può parlare di intorno destro quando il primo estremo dell’insieme è proprio la coordinata del punto P. Quindi il punto P diventa l’estremo sinistro dell’intervallo da considerare. Ecco la definizione.

Definiamo intorno destro di un punto P, e si indica con I⁺(P), l’insieme dei punti diversi da P e appartenenti ad un segmento che ha P come estremo sinistro.

Dal punto di vista matematico, questa definizione si traduce nella seguente formula.

In questo caso, invece, l’ampiezza dell’intorno è b-x₀. Non ha senso in questo caso parlare di intorno circolare, visto che il punto P è diventato uno degli estremi e non può più essere il punto medio.

Intorno sinistro di un punto

Si parla invece di intorno sinistro quando il punto P diventa l’estremo destro, per cui si va a considerare l’insieme dei numeri reali minori di x₀ fino ad arrivare alla coordinata di A.  Dal punto di vista matematico vale la formula:

L’ampiezza dell’intorno sinistro è x₀-a e anche in questo caso non ha senso parlare di intorno circolare, dato che P è nuovamente un estremo e non può essere punto medio del segmento.

Intorno di infinito

Fino a questo momento ci siamo occupato di insiemi circoscritti, i cui estremi cioè sono numeri reali. In matematica esistono anche gli intorni di intervalli aperti. In entrambi non ha senso parlare di intorno circolare dato che P continua ad essere un estremo del segmento.

Intorno di – infinito

L’intorno di meno infinito, ad esempio, è quell’insieme di valori che vanno da meno infinito fino ad un certo punto P.

Intorno di + infinito

Allo stesso modo è possibile individuare l’intorno di più infinito come quell’intorno che va dal generico punto P fino a più infinito

Intorno bucato

Non c’è nulla di difficile in quest’ultima definizione che userai molto raramente nel tuo corso di studi, ma per completezza te la presentiamo. L’intorno bucato è un semplice intorno finito, quindi gli estremi sono punti appartenenti all’insieme dei numeri reali, di cui però lo stesso punto P va escluso.

L’intorno bucato può essere un intorno completo.

Tutti i concetti che hai visto fino ad ora, e su cui non ti proponiamo neanche esercizi perché non sono necessari, saranno importanti per le definizioni dei limiti. Tuttavia procedi un passo alla volta. Nel caso ti restino dubbi in sull’argomento, contatta il nostro staff oppure utilizza la chat in basso. I nostri personal tutor sono a tua disposizione.