Dominio di una funzione – come si calcola il campo di esistenza

Il dominio di una funzione è l’insieme in cui la funzione stessa esiste ed è definita. In altre parole, nell’analisi matematica, il dominio di funzione va ad indicare quali valori della variabile x “non sono ammessi”. Per poterlo calcolare sono necessarie poche semplici regole da tenere presente.

E’ detto anche campo di esistenza ed è il primo passo per poter disegnare il grafico di una curva. In questa lezione vedremo quali sono le regole per calcolare il dominio di funzioni reali con variabili reali.

Che cos’è il dominio di una funzione

Quando abbiamo espresso la definizione di funzione matematica e della sua rappresentazione sul piano cartesiano abbiamo parlato anche di dominio e codominio.

ENUNCIATO

Il dominio di una funzione y=f(x) o campo di esistenza o anche insieme di definizione di f è l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato.

Che significa ciò praticamente? Che il dominio della funzione f rappresenta quell’insieme dei valori che la x può assumere affinché la funzione stessa esista. Proprio per questa ragione il dominio di una funzione viene chiamata campo di esistenza.

Esempio

Immagina di dover calcolare il dominio della funzione irrazionale y=√x.

Se proviamo ad assegnare dei valori negativi alla x, la y smette di esistere. Questo significa che i valori della x devono essere sempre positivi affinché la funzione esista. Il dominio di una funzione irrazionale, come vedremo, ha senso solo quando il radicando è positivo.

Come si trova il dominio di una funzione

Molti libri e insegnanti propongono spesso metodi di calcolo che agli studenti risultano poco chiari o comunque non sempre applicabili in maniera istantanea.

Il nostro consiglio è di iniziare a riconoscere la funzione che si ha di fronte e di applicare per ciascuna di essa la regola che ti mostreremo. In base alla natura delle operazioni matematiche che caratterizzano f si sono classificate le funzioni in base ad uno schema preciso. Ecco come si trova il dominio delle funzioni elementari.

Dominio di una funzione razionale intera

Quando ti trovi di fronte ad un polinomio, non hai nulla di cui preoccuparti. Il grafico della tua funzione non avrà alcuna discontinuità per cui il dominio è “per ogni x appartenente a R“.

Questo significa che il campo di esistenza è tale per cui la funzione esiste per tutti i valori della x appartenenti all’insieme dei numeri reali. Lo stesso vale se devi fare il calcolo del dominio di una funzione di terzo grado, non ci sarà alcuna differenza

Dominio di una funzione fratta

Quando invece devi calcolare il dominio di una funzione razionale fratta dovrai escludere tutti i valori che annullano il denominatore.

Quindi la regola che devi applicare è imporre il denominatore diverso da zero. Quindi nella frazione A(x)/B(x) dovrai imporre B(x) diverso da 0.

Dominio di una funzione irrazionale

Come ben ricorderai dalle proprietà dei radicali e delle equazioni irrazionali, i casi che ti si possono presentare sono due. L’indice di radice può essere ad indice pari o ad indice dispari.

• Per calcolare il dominio di una funzione irrazionale ad indice di radice dispari, ti è sufficiente imporre  “per ogni x appartenente a R”. Infatti in questo caso non ci sarà alcuna limitazione al campo di esistenza.
• Per calcolare il dominio delle funzioni irrazionali ad indice pari dovrai invece imporre il radicando maggiore e uguale di zero, visto che una radice non può essere negativa.

Dominio di una funzione esponenziale

Il dominio di una funzione esponenziale è definito per ogni x appartenente a R. Quindi quando incontri questo tipo di funzione non avrai problemi, dato che non ci sono discontinuità.

Così come nelle equazioni esponenziali non andavi a definire un campo di esistenza, anche ora sul grafico nel dominio non dovrai andare ad effettuare alcuna modifica.

Approfondimenti: tutto quello che c’è da sapere sulla Funzione Esponenziale 

Dominio di una funzione logaritmica

Quando abbiamo affrontato le proprietà dei logaritmi ed in particolare quando abbiamo affrontato le equazioni logaritmiche abbiamo già calcolato il campo di esistenza, imponendo l’argomento maggiore di zero.

Nella formula generica che vedi al lato, dovrai semplicemente imporre tutto ciò che è nell’argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè f(x)>0.

Dominio di una funzione trigonometrica

y= senx e y=cosx, cioè seno e coseno non hanno un campo di esistenza limitato, per cui possiamo scrivere che il dominio è definito per ogni x appartenente a R.

t=tgx, cioè la tangente di un angolo esiste invece solo quando x è diverso da π/2+kπ, cioè non può mai assumere valori multipli di 90° e 270°. Allo stesso modo la cotangente di un angolo è definita solo quando x è diverso da π+kπ, cioè per valori multipli di 180°.

A cosa serve il dominio di una funzione sul grafico?

Presa la nostra traccia, la prima cosa che abbiamo imparato a fare, fino ad ora, è riconoscere il tipo di funzione e da qui abbiamo capito come calcolare il campo di esistenza. Ma tutto ciò a cosa serve per lo studio di funzione? Come i valori del dominio che ho ottenuto possono essere sistemati sul grafico? I casi possibili sono sostanzialmente 3:

• il dominio è “per ogni x appartenente a R”. In tal caso il grafico non viene modificato in alcun modo dalle condizioni di esistenza, cioè la mia curva può attraversare tutto il grafico senza alcuna limitazione.
• il dominio è una equazione con il simbolo diverso. In tal caso si disegna una retta verticale (ecco cosa sono gli asintoti verticali) in corrispondenza di quell’ascissa. La mia curva non potrà mai toccare l’asintoto, ma solo avvicinarsi ad esso. Il caso più frequente si verifica con il dominio di una funzione fratta.
• il dominio è una disequazione è una disequazione, come nel caso dei logaritmi o delle funzioni sotto radice. In questo caso si andrà a cancellare, tratteggiandola, tutta la zona del grafico non indicata dal campo di esistenza calcolato.

Esempio

Calcolare il dominio della funzione composta seguente.

Nella traccia di questo piccolo esercizio si comincia facendo il riconoscimento della funzione. Che cosa subisce la x per diventare y? Gli viene applicato il logaritmo (quindi è una funzione logaritmica), poi gli viene sottratto 1 (quindi si va nelle funzioni razionali) e infine gli viene applicata la radice (sarà quindi anche funzione irrazionale).

Trascurando il fatto che sia funzione razionale, visto che il dominio è per ogni x appartenente ad R per cui non influenza il risultato finale, concentriamoci sul calcolo del dominio della funzione logaritmica irrazionale.

In figura ti abbiamo già cerchiato quali sono gli argomenti su cui lavorare. L’argomento della radice va imposto maggiore e uguale di zero, mentre l’argomento del logaritmo solo maggiore di zero. Queste due condizioni devono essere verificate contemporaneamente per cui andremo a scrivere un sistema di disequazioni.

Come puoi vedere è stato imposto il sistema di disequazioni e con pochi semplici passaggi algebrici siamo arrivati alla soluzione dell’esercizio. Ora il risultato va riportato sul grafico. Nella parte bassa puoi vedere che abbiamo disegnato gli assi cartesiani e riportato sull’asse delle ascisse il numero di Nepero e.

E’ stata cancellata tutta la porzione di grafico che non rientra nel dominio della funzione. Dato che il calcolo del campo di esistenza ci aveva dato come soluzione x maggiore e uguale di e, vuol dire che la funzione esiste solo dal valore di e in poi. Quindi tutto ciò che sta alla sinistra del numero di Nepero è stato cancellato.

In questo modo abbiamo escluso tutta una porzione del grafico e sappiamo con certezza che la nostra curva sicuramente non passerà per quell’area. Nelle prossime lezioni vedremo alcuni esercizi sul calcolo dei domini. Per dubbi o incertezze, il nostro staff resta a tua disposizione: contattaci!